首先看看定向集的定义：

D为非空集合，R为定义在D×D上的关系。若(D,R)为非空预序集，且对于任意m,n∈D，存在p∈D，使得pRm,pRn成立，那么(D,R)称为定向集

【资料图】

其中，预序集也叫前序集，预序关系指偏序关系中去掉反对称性（aRb,bRa,则a=b），只保留自反性（满足aRa）和传递性（aRb,bRc,则aRc）。这一点很重要，这保证了下面讲到的“循环结构”是可以存在的。

让我们从“对于任意m,n∈D，存在p∈D，使得pRm,pRn成立”入手，观察定向集的样貌。

定义1：

【结构】预序集的形象表示，预序集的元素即点，预序集的关系即连接两点的有向线段。

如果预序集至多可数，这个结构可以部分/全部画出来。

为了方便表示，我们定义如下表达形式：“aRb”,“a←b”,“尾←首”三种表示手法意义相同。

下面看两个基本结构：

【单点结构】：O（O→O的情况，我们省略掉箭头）

【两点偏序结构】：口→O（或者 O←口，O ≠ 口）

【尾】：一个预序集(D,R)中，对于任意m∈D，存在p∈D，使得pRm成立，则称p为该预序集的尾

（这里有一个我不明白的点，在定向集的定义中，“对于任意m,n∈D，存在p∈D，使得pRm,pRn成立”为什么不替换成“任意m∈D，存在p∈D，使得pRm成立”呢？是为了要求D中至少存在2个元素么？）

那么两点偏序结构中，O为尾。

定义2：

【生长】：将一个单点替换为结构。

替换规则是：要把一个单点生长为一个结构，那么这个单点必须是该结构的尾，而该预序集内的所有点既可以在生长前的原有的预序集中任选，也可以是生长后新出现的点

【等价】：两个结构等价，当且仅当这两个结构能从同一个结构中生长。进一步地，一个结构等价于这个结构的尾。进一步地，能从单点生长出来的结构一定可以等价于单点

显然，单点结构和两点偏序结构等价。

定理：当一个预序集的结构等价于单点，那么这个预序集是一个定向集

不证了，我瞎蒙的。大概感觉是有尾的定义、有替换规则，就差不多了。

预序集是否可数在这里没有矛盾（大概）

接下来举例：

至于为什么写了这么不严谨的内容……

第一个是我自己实在没时间搞了——明天上午要考拓扑学期中，我还在纠结“尾”的具体含义——我觉得我用的那个讲义写的有歧义，哎哟，真完蛋。

第二个就是想让各位大佬帮我看看有没有问题，这样就能形象地理解定向集，进而理解网了。